An amphichiral knot is a knot that is capable of being continuously deformed into its own mirror image. More formally, a knot  is amphichiral (also called achiral or amphicheiral) if there exists an orientation-reversing homeomorphism of  mapping  to itself (Hoste et al. 1998). (If the words "orientation-reversing" are omitted, all knots are equivalent to their mirror images.)

Knots on ten and fewer crossing can be tested in the Wolfram Language to see if they are amphichiral using the command KnotData[knot, "Amphichiral"].

There are 20 amphichiral knots having ten or fewer crossings, namely  (the figure eight knot), , , , , , , , , , , , , , , , , , , and  (Jones 1985), the first few of which are illustrated above.

The following table gives the total number of prime amphichiral knots, number of  amphichiral noninvertible prime knots,  amphichiral noninvertible prime knots, and fully amphichiral invertible knots prime knots () with  crossings, starting with .

type	OEIS	counts
amph.	A052401	0, 1, 0, 1, 0, 5, 0, 13, 0, 58, 0, 274, 1, ...
	A051767	0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 6, 0, 65, ...
	A051768	0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 6, 0, 40, 0, 227, 1, ...
	A052400	0, 1, 0, 1, 0, 4, 0, 7, 0, 17, 0, 41, 0, 113, ...

Prime amphichiral alternating knots can only exist for even , but the 15-crossing nonalternating amphichiral knot illustrated above was discovered by Hoste et al. (1998). It is the only known prime nonalternating amphichiral knot with an odd number of crossings.

The HOMFLY polynomial is good at identifying amphichiral knots, but sometimes fails to identify knots which are not. No knot invariant which always definitively determines if a knot is amphichiral is known.

Let  be the sum of positive exponents, and  the sum of negative exponents in the braid group . If

then the knot corresponding to the closed braid  is not amphichiral (Jones 1985).

REFERENCES:

Burde, G. and Zieschang, H. Knots, 2nd rev. ed. Berlin: de Gruyter, pp. 311-319, 2002.

Haseman, M. G. "On Knots, with a Census of the Amphicheirals with Twelve Crossings." Trans. Roy. Soc. Edinburgh 52, 235-255, 1917.

Haseman, M. G. "Amphicheiral Knots." Trans. Roy. Soc. Edinburgh 52, 597-602, 1918.

Hoste, J.; Thistlethwaite, M.; and Weeks, J. "The First  Knots." Math. Intell. 20, 33-48, Fall 1998.

Jones, V. "A Polynomial Invariant for Knots via von Neumann Algebras." Bull. Amer. Math. Soc. 12, 103-111, 1985.

Jones, V. "Hecke Algebra Representations of Braid Groups and Link Polynomials." Ann. Math. 126, 335-388, 1987.

Sloane, N. J. A. Sequences A051767, A051768, A052400, and A052401 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الدينية يُطلق دورة فقهية دينية لملاكات مستشفى الكفيل

شعبة فاطمة بنت أسد للدراسات القرآنية تعلن نتائج مسابقة (ميثاق الرسول)

شعبة الخطابة الحسينية النسوية تنظّم مسابقة فرقية لطالبات برنامج ثمار العطاء

قسم العلاقات ينظم ورشة عن فن الإقناع والتواصل الفعّال للطلبة المنسقين

المزيد

الآخبار الصحية

تغيير بسيط في نمط التفكير قد يحدث فرقا كبيرا لصحة الدماغ ؟

لماذا ينعشنا المشروب الساخن في الطقس الحار؟

علماء يكتشفون فئة دم فريدة من نوعها في العالم !

لماذا ينصح الأطباء بزيت الزيتون يوميا؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

حساس الإطارات.. ما هو وعلامات تلفه وكيفية صيانته؟

ما معنى أودي Quattro؟ سر الأداء والتميز الهندسي ؟!

فصل الشاحن أم الهاتف أولا؟.. عادات بسيطة تطيل عمر البطارية

تعود للقرن الرابع قبل الميلاد.. اكتشاف بقايا "إيمت" المصرية

المزيد