الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي:

سنتطرق في هذا البند إلى تعريف الزاوية بين متجهين في فضاء الضرب الداخلي وتوظيف ذلك للحصول على بعض العلاقات الاساسية بين متجهات فضاء الضرب الداخلي كالعلاقات الهندسية بين الفضاء الصفري وفضاء الأعمدة لمصفوفة ما.

تعلمنا من الفصول السابقة أنه إذا كانت v , u متجهات في R² و θ الزاوية بينهما فإن:

مبرهنة (1-1)

(متباينة كوجي ــ شفارتز): إذا كانت u, v متجهات في فضاء الضرب الداخلي الحقيقي فإن:

البرهان:

من المتباينة يتضح أن متعددة الحدود at²+bt+c اما لا تحتوي على جذور حقيقية أو جذر حقيقي متكرر. لذا فإن مميزها يحقق المتباينة.

حيث أن الصيغة الأولى حصلنا عليها بموجب مبرهنة (1-1) والصيغة الثانية حصلنا عليها من الصيغة الأول باستخدام حقيقة أن 

مثال(1):

لاحظ أن متباينة كوجي ــ شفارتز  يمكن اعتبارها كحالة خاصة من مبرهنة (1-1) وذلك بأخذ .<v,u>كضرب داخلي إقليدي v. u.

خواص الطول والمسافة في فضاء الضرب الداخلي:

إذا كانت w, u, v متجهات في فضاء الضرب الداخلي V و k كمية ثابتة فإن:

من السهولة اثبات صحة الخواص أعلاه لذا نترك براهينها ، وللتوضيح سنبرهن الخاصية رقم 4.

ملاحظة: يتبين من خلال الخواص الثمان أن خواص المتجهات في فضاء إقليدس النوني تبقى متحققة في فضاء الضرب الداخلي.

الزاوية بين المتجهات في فضاء الضرب الداخلي:

مثال(2):

اوجد الزاوية θ المحصورة بين المتجهين  v = (2,, 1,5) و u = (1, -3, 2) في R²

الحل:

تعريف (1-2):

يقال للمتجهات v و u في فضاء الضرب الداخلي بأنها متعامدة إذا تحقق الشرط الآتي:

                                                                             <u,v>=0

مثال(3):

مثال(4):

لتكن p = x و q = x² متعددتي حدود في p₂ المعرف عليها الضرب الداخلي.

لذا فإن p و q متعامدتان نسبة للضرب الداخلي.

مبرهنة (1-3):

(مبرهنة فيثاغورس): إذا كانت u, v متجهات متعامدة في فضاء الضرب الداخلي، فإن:

البرهان:

مثال(5): لتكن q, p كما في المثال(4)، فإن:

يمكن حل المثال(5): بطريقة أخرى باستخدام تعريف التكامل كالآتي:

وهي نفس النتيجة التي حصلنا عليها سابقاً.

تعريف (1-4):

لتكن U فضاء جزئي من فضاء الضرب الداخلي V. المتجه v في V يقال له عمود على U إذا كان عمودياً على كل متجه في U. مجموعة جميع المتجهات في V العمودية على U يقال لها المتممة العمودية للفضاء الجزئي U .

مبرهنة (1-5):

إذا كانت U فضاء جزئي في فضاء الضرب الداخلي V، فإن:

1. U^⟘ فضاء جزئي في V.

2. المتجه الوحيد المشترك بين U, V هو المتجه الصفري.

3. المتمم العمود على U هو U [أي أن (U¹)¹ ] .

البرهان:

(1) نفس u, v متجهين في W¹ و k كمية ثابتة، وليكن w في W، عليه فإن <u,w>=0,<v,w>=0

إذن:

مبرهنة (1-6):

لتكن A مصفوفة سعتها m x  n فإن:

1. الفضاء الصفري وفضاء صفوف A هما متممان متعامدة فيR²  نسبة للضرب الداخلي الاقليدي.

2. الفضاء الصفري مصفوفة A^T وفضاء أعمدة A هما متممات متعامدة في R^m نسبة للضرب الداخلي الاقليدي.

البرهان:

1. المطلوب برهانه هو إذا كان v متجه ما عمود على أي متجه في فضاء صفوف A فإن     Av = 0  وبالعكس Av = 0 فإن V  متعمد مع أي متجه في فضاء صفوف A لأن يعطينا أن المتممات المتعمدة لفضاء صفوف A هي الفضاء الصفري للمصفوفة A.

إذن نفرض أن v متعامد مع أي متجه في فضاء صفوف A. على وجه الخصوص نفرض v متعامد مع متجهات صفوف A، لنسميها r₁ , r₂, … , r_n.

إذن:

عليه فإن النظام الخطي Ax = 0 يمكن كتابته بالشكل:

لهذا فإن v هو حل لهذا النظام، ومن ذلك نستنتج أن هذا الحل يقع في فضاء A الصفري.

بالعكس: نفرض أنv  ينتمي لفضاء A الصفري بحيث Av  = 0، لذا فإن:

ولكن إذا كان r أي متجه في فضاء صفوف A فإن r يكتب:

لهذا:

إذن v يتعامد مع كل متجه من متجهات فضاء صفوف A.

2. باستخدام برهان الجزء الاول نبرهن الجزء الثاني من خلال كون فضاء أعمدة A هو فضاء صفوف A^T.

مثال(6):

أوجد المتمم العمودي على الفضاء الجزئي  U  في   R⁴   المتولد من:

لذا فإن الفضاء الصفري للمصفوفة A، الذي هو المتمم العمودي إلى U، هو مجموعة المتجهات:

عليه فإن {(-5, 4, -2, 1)} هي أساس U¹.

ملاحظة:

بإضافة الخواص الآتية:

1. المتمم العمود لفضاء A الصفري هو Rⁿ.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي يواصل إقامة مسابقة الثقلين القرآنية لطلبة مدارس كربلاء

عضو مجلس إدارة العتبة العباسية المقدسة يطلع على آليات تطوير البرامج التعليمية في مجموعة العميد

مجموعة مناحل الكفيل تختتم مشاركتها في معرض السليمانية الدولي للزراعة والصناعات الغذائية

لتوثيق التراث العلمي.. وفد قسم شؤون المعارف يلتقي عددًا من أعلام مدينة النجف

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد

مواضيع ذات صلة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-الفضاء الاقليدي النوني

فضاء المتجهات العام- فضاء المتجهات الحقيقي

فضاء المتجهات العام-رتبة المصفوفات بعد الفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام-فضاء الصفوف وفضاء الأعمدة والفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام- الأساس والبعد

فضاء المتجهات العام-الفضاءات الجزئية

فضاء الضرب الداخلي-الأساسات المتعامدة طريقة كرام ــ شمت

فضاء الضرب الداخلي-الضرب الداخلي

فضاء الضرب الداخلي-المصفوفات المتعامدة، تبديل الأساسات

أنظمة المعادلات الخطية والمصفوفات -تمارين محلولة