تمارين محلولة:

حل النظام الخطي التالي مستخدماً طريقة كاوس وطريق قاوس ــ جوردن.

الحل:

(a) توجد المصفوفة الممتدة للنظام الخطي:

(b) تعدل الصفين الأول والثاني ــ كلا مكان الآخر.

(c) نضرب الصف رقم 1 في -3 ونضيفه للصف الثاني:

وكذلك نضرب الصف رقم 1 بالعدد -1 ونضيفه للصف الثالث

(d) نضرب بالصف رقم 2 بالعدد 1/4:

(e) نضرب الصف رقم 2 والعدد 3 ونضيفه:

هذه الصيغة تسمى بالصيغة المدرجة الصيغة (أو صيغة كاوس)

وبالتعويض عن X₃ في المعادلة الثانية لإيجاد قيمة X₂ ومن ثم نعوض x₂ و x₃ فإن المعادلة الثالثة لإيجاد X₁.

وللسهولة في إيجاد قيم X₁ و X₂ و X₁ نستمر في اختزال المصفوفة في الخطوة رقم 5. (f) بإضافة الصف الثالث لكل من الصفوف رقم 1 أو رقم 2

(g) نضرب الصف الثاني بالعدد 1 ونضيفه للصف الأول.

وهذه الصيغة تسمى الصيغة المدرجة المختزلة (او صيغة كارس ــ جوردن) وبمجرد النظر نصحل على الحل وهو:

2. حل النظام الخطي التالي:

الحل:

نوجد المصفوفة الممتدة:

بوساطة عمليات الصف البسيطة يتمكن بتحويل المصفوفة أعلاه للصيغة المندمة الصفية (صيغة كاوس) التالية (برهن ذلك).

بالاستمرار في استخدام عمليات الصف البسيط ، نستطيع الحصول على الصيغة المدرجة الصفية المختزلة:

المصفوفة الأخيرة هذه هي المصفوفة الممتدة للنظام:

حيث t أي عدد حقيقي.

نلاحظ من خلال الحل أعلاه أن هناك عدد غير منتهي من الحلول.

3. أوجد جميع حلول النظام الخطي المتجانس.

الحل:

المصفوفة الممتدة للنظام هي:

أما الصيغة المدرجة المختزلة لها فهي:

النظام الخطي المقابل هو:

X = W

Y = w

Z = - w

عليه فإن الحل هو : (t1 , -t, t, t) لأي عدد حقيقي t.

4- برهن أن AB ≠ BA

الحل:

عليه فإن AB = BA، بصورة عامة كذلك لما كان AB ≠ 1 فإن AB = BA = I ومن ذلك نستنتج أن B + A^-1، أي أن A غير قابلة للانعكاس (A^-1 غير موجودة).

أوجد A^-1 ،إذا وجد معكوس للمصفوفة:

1. تكون المصفوفة [A:I₃]

2. بواسطة عمليات الصف البسيطة فإن A تختزل صفياً إلى I³، إذا كانت A قابلة للانعكاس I³, ستصبح A^-1.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي يواصل إقامة مسابقة الثقلين القرآنية لطلبة مدارس كربلاء

عضو مجلس إدارة العتبة العباسية المقدسة يطلع على آليات تطوير البرامج التعليمية في مجموعة العميد

مجموعة مناحل الكفيل تختتم مشاركتها في معرض السليمانية الدولي للزراعة والصناعات الغذائية

لتوثيق التراث العلمي.. وفد قسم شؤون المعارف يلتقي عددًا من أعلام مدينة النجف

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد

مواضيع ذات صلة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-الفضاء الاقليدي النوني

فضاء المتجهات العام- فضاء المتجهات الحقيقي

فضاء المتجهات العام-رتبة المصفوفات بعد الفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام-فضاء الصفوف وفضاء الأعمدة والفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام- الأساس والبعد

فضاء المتجهات العام-الفضاءات الجزئية

فضاء الضرب الداخلي-الأساسات المتعامدة طريقة كرام ــ شمت

فضاء الضرب الداخلي-الضرب الداخلي

فضاء الضرب الداخلي-المصفوفات المتعامدة، تبديل الأساسات

فضاء الضرب الداخلي-الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي