الفضاء الاقليدي النوني:

تعريف (1-1):

ليكن n عدداً صحيحاً موجباً . المرتبة فئة n من الأعداد الحقيقية (a₁, a₂, … , a_n). مجموعة المرتبات فئة n تسمى الفضاء النوني ويرمز له R^m.

عندما n يساوي 2 أو 3 فإننا نطلق التعبير الزوج المرتب أو الثلاثي المرتب بدلاً من المرتب فئة 2 والمرتب فئة 3. من خلال دراستنا للفصل السابق لاحظنا أن الرمز (a₁, a₂, a₃) له تفسيرات هندسية أما يمثل نقطة أحداثياتها a₁ و a₂ و a₃ أو انه متجه مركباته a₁ و a₂ و a₃ لذا من الممكن اعتبار المرتب فئة n (a₁, a₂, … , a_n), على أنه تعميم للنقطة أو تعميم للمتجه (شكل 1-1).

                                                                       شكل ((1-1

تعريف (1-2):

(1) المتجهان v = (v₁, v₂, … , v_n)  و  u = (u₁, u₂, …, u_n) في "R متساويان، إذا كانت مركباتهما المتناظرة متساوية، أي:

(2) جمع المتجهات v و u، يكتب v + u، هو متجه مركباته عبارة عن جمع مركبات v و u المتناظرة. أي:

 (3)ضرب المتجه v بكمية ثابتة k، يكتب kv، هو متجه مركباته هي مركبات v مضروبة في k، أي:

المتجه الصفري في R" يكتب 0 ويعرف (0 = (0, 0, … , 0، إذا كان                 R"V(v₁, v₂, …,v_n) فإن (-v) هو متجه، يقال له المعكوس الجمعي للمجتهv، ويعرف:

مبرهنة (1-3):

إذا V(v₁, v₂, …,v_n)  و u = (u₁, u₂, …, u_n)  و w = (w₁, w₂, … , w_n) متجهاً في "R.I, k كميات ثابتة، فإن:

ملاحظة:

بموجب مبرهنة (1-3) يمكن التعامل بالمتجهات من دون استخدام مركباتها، فمثلاً لحل المعادلة x + u = v نضيف النظير –u.

للطرفين:

تعريف (1-4)

لتكن V(v₁, v₂, …,v_n)  و  u = (u₁, u₂, …, u_n) متجهان في R". الضرب الداخلي الاقليدي (الضرب النقطي)، يكتب v.u، يعرف:

مثال(1):

لتكن v = (-1,2,3,1)  و  u = (0,1,2,4) متجهات في R⁴ فإن:

مبرهنة (1-5):

لتكن v و u و w في Rⁿ  و k ثابت فإن:

البرهان:

نبرهن 2 و 4.

المساواة في الصيغة هذه تكون صحيحة إذا وفقط إذا v₁ = v₂ = … = 0  إذا وفقط v = 0

تعريف (1-6):

مثال(2): نفرض v = (3,2,1,5) و u = (0,1,-1,3) في R". اوجد طول u والمسافة بينهما.

ملاحظة:

يمكن تمثيل المتجه  v = (v₁, v₂, … , v_n)في R" بشكل مصفوفة صف أو مصفوفة عمود:

مثال (3):

مبرهنة (1-7): (متباينة كوجي ــ شفارتز): لتكن v = (v₁, v₂, … , v_n) و                          u = (u₁, u₂, …,  u_n)، فإن:

البرهان:

(نبرهن الحالة الخاصة عندما v و u في R² أما الحالة العامة فسوف نناقشها في المواضيع القادمة).

مبرهنة (1-8):

لتكن v و u متهات في R" و k كمية ثابتة، فإن:

                   شكل(1-2)

البرهان:

نبرهن الصيغتين (3) و (4)

(4) من شكل (1-2) ( b).

عليه، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين:

بقية الصيغ نبرهن بنفس الطريقة.

مبرهنة (1-9):

لتكن v و u و w في R" ، k كمية ثابتة، فإن:

البرهان ستثبت المتباينة (رقم 4). اما الصيغ الثلاث الأخرى، فتترك كتمارين.

بموجب (2) والمبرهنة (1-8) يكون لدينا:

مبرهنة (1-10):

إذا كانت v و ع متجهات في R". فإن:

البرهان:

لما كان:

تعريف (1-11):

يقال للمجتهدين  v و u في R" بأنهما متعامدان  إذا:

                                                                   v.u = 0      

مبرهنة (1-12) (فيثاغورس):

إذا تعامد المتجهات v و u في R" فإن

(لأن v و u متعامدان).

مثال(4):

لتكن v و u كما في المثال 3 فإن:

مثال (5):

عليه فإن v و u متعامدان.

مثال(6):

ملاحظة:

الضرب النقطي يساعدنا في تعريف طريقة جديدة لضرب المصفوفات، فمثلاً إذا كانت متجهات صفوف A

 هي r_n ……, r₂,r₁ ومتجهات أعمدة B هي c_n, … c₂, c₁ فإن ضرب المصفوفات AB:

عليه ، فالنظام الخطي AX = B يمكن كتابته بصيغة الضرب النقطي:

إذ أن r_n, …. , r₂, r₁ متجهات صفوف A و b_n, … b₂, b₁ عناصر B.

مثال(7)

اكتب النظام الآتي بشكل ضرب نقطي:

الحل:

بموجب الشكل (1-2):

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي يواصل إقامة مسابقة الثقلين القرآنية لطلبة مدارس كربلاء

عضو مجلس إدارة العتبة العباسية المقدسة يطلع على آليات تطوير البرامج التعليمية في مجموعة العميد

مجموعة مناحل الكفيل تختتم مشاركتها في معرض السليمانية الدولي للزراعة والصناعات الغذائية

لتوثيق التراث العلمي.. وفد قسم شؤون المعارف يلتقي عددًا من أعلام مدينة النجف

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد

مواضيع ذات صلة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات العام- فضاء المتجهات الحقيقي

فضاء المتجهات العام-رتبة المصفوفات بعد الفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام-فضاء الصفوف وفضاء الأعمدة والفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام- الأساس والبعد

فضاء المتجهات العام-الفضاءات الجزئية

فضاء الضرب الداخلي-الأساسات المتعامدة طريقة كرام ــ شمت

فضاء الضرب الداخلي-الضرب الداخلي

فضاء الضرب الداخلي-المصفوفات المتعامدة، تبديل الأساسات

فضاء الضرب الداخلي-الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي

أنظمة المعادلات الخطية والمصفوفات -تمارين محلولة