مثال: إذا كانت دالة الإنتاج لشركة توشيبا لإنتاج الأجهزة الكهربائية على الصورة:
Q=6L2 -0.2L3
حيث أن L: تمثل عدد العاملين
Q: تمثل حجم الإنتاج.
المطلوب أوجد:
1- الإنتاجية الحدية للعامل عندما 10= L ، 15=L=30 , L ،L =20 ،
2- إيجاد عدد العاملين الذي يجعل الإنتاج أكبر ما يمكن.
3- إيجاد عدد العاملين الي يجعل الإنتاجية المتوسطة للعامل (APL) أكبر مـا يمكن ثم احسب كلاً من الإنتاجية الحدية للعامل (MPL)، والإنتاجية المتوسطة للعامل (APL) عند هذا العدد من العاملين.
ــ المشتقة الثانية
وبذلك فإن عند عدد العاملين الذي يجعل الإنتاجية المتوسطة أكبر ما يمكن
فإن (MPL = APL).
مثال: إذا كانت دالة الإنتاج (Q) بالنسبة لعدد العاملين (L) بإحدى الشركات على الصورة التالية:
Q=6L3 - 0.2L4
المطلوب: أوجد عدد العاملين الذي يجعل الإنتاجية المتوسطة أكبر ما يمكن وعند هذا العدد أوجد قيمة كل من MPL , APL.
بتحديد النهاية العظمى لدالة الإنتاجية المتوسطة نتبع الخطوات التالية:
- المشتقة الأولى لدالة الإنتاج المتوسطة:
APL' = 12L - 0.6L2
- مساواة المشتقة الأولى بالصفر (0=APL):
APL' = 12 – 0.6L
- بالتعويض عن قيمة L في المشتقة الثانية:
عندما L=0 فإن:
APL = 12
مثال: إذا كانت تكلفة بناء أحد الأبراج السكنية بعدد (x) من الطوابق تتكون من:
- 18 مليون دولار ثمن شراء الأرض.
- (0.5 - × 0.02) تكاليف البناء والتشطيب الخاصة بكل طابق.
المطلوب تحديد عدد الطوابق الذي يجعل التكلفة المتوسطة لكل طابق أقل ما يمكن، وعند هذا العدد أوجد قيمة كل من MC, AC.
الحل:
1- ثمن شراء الأرض يمثل تكلفة ثابتة لا ترتبط بعدد الطوابق: 18 = fc
مثال: إذا كانت تكلفة بناء أحد المباني بعدد (X) من الطوابق تتمثل في ثلاثة عناصر كما يلي:
1- 4 مليون دولار ثمن شراء الأرض.
2 ـ ربع مليون دينار (0.25) تكلفة بناء كل طابق.
3 ـ (0.01x) مليون دينار تكلفة تشطيب كل طابق.
المطلوب: أوجد عدد الطوابق الذي يجعل التكلفة المتوسطة أقل ما يمكن وعند هذا العدد من الطوابق أوجد AC, MC
الحل:
- التكاليف الثابتة (ثمن شراء الأرض): fc = 4
- التكاليف المتغيرة (تكاليف بناء كل طابق + تكاليف تشطيب كل طابق)
vc = 0.25 + 0.01x
- التكاليف المتغيرة الكلية = التكاليف المتغيرة لكل طابق × عدد الطوابق
Tvc = (vc)x x
x)x 0.01+ 0.25) =
0.01x2 +x 0.25=
- تكون التكاليف = الكلية التكاليف الثابتة + التكاليف المتغيرة الكلية
TC = fc + Tvc
TC = 4 + 0.25 +0.01x2
نجد أن (MC = AC) عند عدد الطوابق الذي يجعل التكلفة المتوسطة أقل ما يمكن.
مثال: إذا كانت دوال العرض والطلب لسلعة ما على الصورة التالية:
P = Qs + 8
P = -3Qd+80
فإذا قررت الحكومة فرض ضريبة قدرها (t) لكل وحدة.
المطلوب: أوجد قيمة (t) التي تعظم إجمالي العائد من الضرائب بفرض بقاء السوق في وضع التوازن.
الحل:
عند التوازن فإن:
Q s = Q d = Q
وحيث ان دالة الطلب هي:
P = -3Q+80
: ودالة العرض هي:
P=Q+8
إجمالي العائد من الضريبة.
T = tQ
بعد فرض الضريبة فإن دالة العرض تصبح:
p - t = Q + 8
p = Q + 8 + t
دالة الطلب كما هي:
P = -3Q+80
اذن عند التوازن دالة العرض = دالة الطلب
