الرياضي بطبيعته لا يميل إلى الصرامة أكثر مما يميل إليها السياسي؛ كلاهما يوفر الصرامة حينما لا يكون ثمة مفر من هذا وقد رأينا كيف التقى الإغريق على حين غرة بالصرامة، وسنرى الآن كيف فرضت نفسها مجددا على خلفائهم، ومتى تأدت بهم إلى اكتمال الصورية. ثمة حركتان متقابلتان إلى حد ما حدثنا خلال القرن التاسع عشر، وهو عهد مبارك للرياضيات. إحدى هاتين الحركتين تفضل ازدياد، الصرامة، بينما واصلت الأخرى فيض الكشوف والإبداعات بعد فترة توقف قصيرة. بدأت الحركة بكارل فردريش غاوس (1777 - 1855) Gauss .C.F. لقب بأمير الرياضيات، وهذا اللقب مثله مثل لقب أمير الشعراء يعبر عن إعجاب نظرائه بحياة مفعمة بالعمل بقدر ما هي مفعمة بالإنجاز. وغاوس على أي حال جدير بكل تقدير، لأنه أعلن أن الصرامة هي أم الإبداع.
قبل غاوس كان من المفترض بشكل عام أن أي معادلة رياضية معطاة لا بد أن لها جذورا يمكن أن تكون في بعض الأحيان أعدادا مركبة (تخيلية). وقد بذل دولامبير محاولات ناجحة لإثبات هذه الحقيقة الأساسية التي يرسو عليها القطاع الأعظم من الجبر والهندسة وأحرز لابلاس نجاحا أكبر، ولكن غاوس هو الذي وصل أخيرا، نحو العام 1815، إلى البرهان المقنع، لقد تم بشكل حاسم التحكم في استخدام الأعداد المركبة في الجبر امتلك غاوس حسا نافذا بالصرامة المنطقية أقوى من حس اقليدس وامتلك استباقا للتصورات المستقبلية في الرياضيات، تقطع مدوناته الشخصية بأنه يتربع على قمة عصره، ولم يتردد في أن يضع مسلمات الهندسة الأقليدية على وجه التعيين موضع السؤال. كان مهموما هما خاصا بمسلمة التوازي . حاول آخرون قبله استنباطها من المسلمات الأخرى غير مدركين أنهم بهذا يضعون أول مدماك في الهندسة اللاأقليدية. إن مقاربة غاوس مختلفة تماما، إذ كانت لديه شكوك حقيقية في صدق المسلمة الخامسة، وفضلا عن هذا، لم يكن مقتنعا إطلاقا بالانسجام الضروري الذي لا بد أن يوجد وفقا للفيلسوف كانط، بين المكان الذي يتصوره الرياضيون والمكان الذي ندركه بحواسنا . منحه عمله في الجيودسي الفرصة لكي يتحقق مما إذا كان حاصل جمع زوايا مثلث (فيزيقي ضخم، رؤوسه قمم جبال، مساويا فعلا لقائمتين. وكان هذا هو ما توصل إليه على وجه الدقة، بيد أن الأخطاء التجريبية التي لا مفر منها تفسح مجالا لشك معقول لا يزال قائما على أي حال كان يعرف أن الأفضل له ألا يعلن وساوسه للعامة، مادامت الكانطية كانت آنذاك الفلسفة القائمة في ألمانيا وكان أشد ما يمقته غاوس هو الدخول في حوارات عقيمة وبالتالي قرر أن يحتفظ بشكوكه لنفسه.
صمم آخرون أقل منه حذرا على الدخول في المواجهة مباشرة. أولهم لوباتشيفسكي وبولياي نحو العام 1830 ، قاما ببناء هندسة يمكن فيها أن يمر عدد من الخطوط الموازية لخط معلوم بالنقطة نفسها . تبعهما ريمان ليبين في العام 1854 أن ثمة احتمالات أخرى من قبيل هندسات لا توجد فيها أي خطوط موازية لخط معلوم. وهبت عاصفة المناظرات المتوقعة حول هذا في الدوائر العلمية، ولكن في النهاية أدرك الجميع أنه لا يمكن إنكار الاتساق المنطقي في هذه الهندسات الجديدة. وعلاوة على هذا، يمكن رسم نماذج لبعض هذه الهندسات داخل المكان الأقليدي مثلا واحد من هذه النماذج نأخذه من كرة عادية إذا كنا نأخذ «الخط» على أنه دائرة كبيرة مثل هذه المناقشات سوف تتمخض عن فهم أفضل للجوانب الغائمة والاصطلاحية في التعريفات القديمة، التي اعتدنا تأويلها بجرعات مكثفة من الحدس البصري. أما عن النتائج التي تم الوصول إليها فإنها تكشف. عن ظاهرة جديدة، وهي ظاهرة سوف تعاود الحدوث مرارا وتكرارا في المستقبل: البحث عن صرامة أكبر ليست ممارسة خاملة وتكرارية، بل يمكن أن تفيد في عرض إمكانات جديدة لاتزال مجهولة وإبان هذه السنوات عينها، دخلت الصرامة أيضا في أسس التحليل لاتزال فكرة التكامل مترددة بين الصياغة الحدسية - باستخدام المساحات أو الأحجام أو الكتل - وبين صياغة أخرى قائمة على فكرة الابتدائية (الدالة التي نعرف مشتقاتها التي لم تكن صحيحة إلا في حالات معينة؛ وكان لايزال ثمة آخرون، ربما أكثر نزوعا للميتافيزيقا ، منشغلون بوجود كميات غير قابلة للقسمة أزيحت هذه الفوضى تماما بفضل أوغستين لوي كوشي (1789- 1857) A.L. Cauchy وبرنارد ريمان (1826- 1866) B. Ricmann. لقد بينا كيف يمكن تعريف تكامل دالة معطاة بأنه نهاية حاصل معين من عناصر تتزايد في العدد وتتناقص في الحجم لتغدو لا متناهية في الصغر. تعود الفكرة إلى ليبنتز، الرمز المعين للتكامل وهو S (ممطوطة)، يشير إلى حاصل تعميمي. على أي حال، فإنه بعد النتائج الأولية لكوشي التي اكتملت بنتائج ريمان في العام 1854 بات واضحا أن هذه الفكرة عن الحاصل ليست مجرد تقريب حدسي، بل هي تعريف شرعي تماما النهاية محل البحث موجودة وفريدة، أي أنها مستقلة، مثلا عن الطرق العديدة التي يمكن بها تقسيم مساحة إلى قطع صغيرة. حينئذ بدا التحليل قائما على أساس متين، والآن يمكن العمل بفكرتي التكامل والمشتقة (يمكن النظر إلى مشتقة الدالة أيضا بوصفها نهاية).
لكن ثمة مفهوما، ربما كان أساسيا أكثر من المشتقة أو التكامل ظل غامضا تماما. إنه مفهوم الدالة function - صميم الشيء الذي ينصب عليه التحليل. لقد تميز القرن الثامن عشر بميلاد التحليل كأداة للهندسة والديناميكا، وسادت تطبيقاته في هذين المجالين حتى أنه لم يساور أحدا الشك في أن الدالة التي تظهر في التحليل يمكن أن تكون أي شيء سوى توليفات من كثيرات الحدود والجيوب وجيوب التمام والأسيات والدوال الأخرى المألوفة.
سرعان ما أتيحت طرق جديدة لتوليد دوال، وبدأ الافتراض الساذج يتداعى. دوال المتغيرات المركبة ومتسلسلات فوربيه التي سوف نعود إليها) كشفت عن أن الإطار الأسبق كان ضيقا للغاية. تزايدت الحاجة إلى الهروب منه بفعل تلك الدفقة التي أحسها الرياضيون ليدفعوا بتعميم نتائجهم إلى حده الأقصى. وهكذا، لم يكد السؤال عن أي الدوال تكون هي المشروعة يُطرح، حتى بدت الإجابة عنه ذات أولوية قصوى.
إن هذا ليهيب إلى تأمل عميق يأتي من داخل الرياضيات، ويجب أن نضيف إليه علة خارجية ذات سمة اجتماعية لقد ارتفع مستوى الدراسة في الجامعات ومعاهد التعليم العالي الأخرى بات التدريس مهمة تنطوي على مخاطرة ،وتحد أحيانا ينصب على أقصى حدود التطور المعرفي مع إمكان الوقوع في الخطأ أو التناقض لهذا السبب جاءت نتائج كوشي في إجراء التكامل أول ما جاءت من خلال فصوله الدراسية في مدرسة البوليتكنيك. وفي الوقت نفسه، حدث تطور مهم في ما يتعلق بالمنزلة الاجتماعية لعالم الرياضيات جميعهم على وجه التقريب يضطلع الآن بالتدريس، مما أدى بمجتمع الرياضيات إلى تفضيل العود، إلى الأصول. وأخيرا نجد أن المواجهة مع الشبان - تاريخ الأصول الإغريقية يعيد نفسه مجددا - رجحت كفة النظرة المستجدة إلى الأصول. في الوقت نفسه، كان من الضروري للممارسة الفعلية أن تهيئ المعلمين للوقوف في وجه الاعتراضات، وتزودهم بالحجة والحدة في المناظرات الجدلية. ولكن ربما كان هناك سبب ما آخر، أسمى وأرفع مقاما تلك الظاهرة المعروفة جيدا والمحيرة دائما، ظاهرة أعظم العلماء الذين يكونون أيضا الأكثر اهتماما بقياس أبسط التكنيكات.
وكان كارل فبيرشتراس (1815 - 1897) K. Weierstrass هو أستاذ الصرامة والشخص الذي صب التفكير الرياضي صبا في قلب ما هو «عيني». إنه المعلم الأكبر في توضيح بعض الأفكار الشائعة الاستعمال من قبيل فكرة الدالة المتصلة، أو فكرة الأنماط المختلفة لتقارب المتتابعات. سوف نغض النظر عن التفاصيل، لأننا لا نريد لعرضنا أن يكون فنيا متخصصا . وبفضل فيير شتراس وآخرين، أصبح التحليل يرسو أخيرا على أسس صلبة، وبات من الممكن التحقق من مدى مبرهناته . كلما كانت المبرهنات أكثر عمومية كانت أكثر إبهارا؛ وكانت أكثر إشباعا للحس الجمالي المميز الذي هو شقيق الرياضيات. تلك الرغبة في العمومية تهيب دائما بأسس أصوب وأصوب وبالمثل بحرية أوسع. وبهده الطريقة تواصل بشكل صلب ومنسق الفحص المزدوج للأسس والإضافات الممكنة للبنية.
وكانت ثمة في الوقت نفسه تطورات أبعد في التحليل، نتجت هذه التطورات عن دراسة أنساق المعادلات التفاضلية التي تنشأ في الميكانيكا والفيزياء، وفي التطبيق على الهندسة وبطبيعة الحال تلك التي تنشأ عن النتائج الجديدة. ولزاما على الأسرة الصغيرة من الدوال المألوفة أن تفسح مجالا لفيالق الوافدين الجدد: الدوال الناقصة والدوال فوق الهندسية ودوال بيسيل Bessel وهيرميت Hermite ولجندر Legender وجاكوبي Jacobi إلى آخرهم - ويمكن أن تجد قائمة بأسمائهم في موسوعة علماء الرياضيات Who is Who في ذلك الوقت - ويكشف كل واحد منهم عن اهتمام معين. إن الدوال أحادية المتغير المركب، التي تكاد تكون طرفة أصبحت أساسية. والمثير للدهشة أنها باتت مفيدة جدا في كل صنوف الحسابات. وأخيرا، أثار المبدأ الأساسي للتحليل بعض الأسئلة المهمة التي تستحق أن نناقشها على حدة.
ليس من السهل أن ننقل مدى التضخم المذهل في الجبر والهندسة خلال هذه الحقبة، فقد تواترت إبداعات وإضافات في كل صوب وحدب . وثمة سؤال قديم في الجبر، جاء من حب استطلاع بسيط، وسوف يفتح آفاقا لم يتوقعها أحد هل يمكن - على الأقل من حيث المبدأ - أن نحل أي معادلة جبرية معطاة بصياغة واضحة، كما هي الحال في كل المعادلات وصولا إلى معادلات الدرجة الرابعة؟ الإجابة بالنفي، وسوف يجدها أبل Abel وغاليوس Galios على أن الأداة التي استخدمها غاليوس وهي نظرية المجموعات أو [الزمر] أهم كثيرا من المشكلة التي تحلها. فهذه الإجابة علامة دامغة على خطوة أبعد نحو التأويل الصوري للموضوعات الرياضية، فالمعادلات لها حلول عددية، حتى لو كنا نعلم أنها موجودة، لا يمكن حلها على وجه التحديد.
وأيضا درست المعادلات الخطية وهي معروفة منذ العصور القديمة وكانت مناهج الحل متاحة منذ أمد طويل. وحين يكون عدد المجهولات لا يزيد على ثلاثة تمثل المعادلة الخطية سطحا مستويا في فضاء ثلاثي الأبعاد، وبهذا يمكن وضع قطاع كبير من الهندسة في إطار جبري. والرغبة في التعميم سوف تحفز هذا التفاعل بين الجبر والهندسة، نوع من الباليه، حيث كلا النظامين يرفع الآخر. لم يعد التفكير الهندسي مقيداً بالمكان الثلاثي الأبعاد، مادام الجبر يجعل من الممكن أن نتحدث بالوضوح نفسه عن أمكنة لها أي بعد. واحتفظت بعض المفاهيم المستجدة بالوجود الحي المتوقد في الهندسة وفي الجبر على السواء: فقد ارتبطت المصفوفة بتغير مجهولات في الجبر وبتغير محاور إحداثيات في الهندسة.
إنها مباراة في الاندماج والتوحيد، تبلغ ذرا جديدة مع بونسليه Poncelet وشازل Chasles وبلوكر licker وكايلي Cayley. إن المفردات التي يستخدمونها مفردات الهندسة - النقاط والخطوط والقطوع المخروطية والسطوح المستوية والمربعات - بينما تنتمي المفاهيم المفهومة ضمنا إلى الجبر فكرة الخط المستقيم تناظر فكرة المعادلة من الدرجة الأولى، وينظرون إلى القطوع المخروطية على أنها معادلات من الدرجة الثانية الهدف من المباراة إحراز كل تقدم هندسي ممكن من جراء تلك الأفكار الجبرية، من دون أي اضطلاع بإجراء حساب منفرد. وممارسة هذه الهواية التي قد تكون ظريفة جدا، سوف تؤثر تأثيرا كبيرا في إعادة تنظيم الرياضيات مثلا ابتدع جرغون Gergonne التحويلات عن طريق الأقطاب العكسية مما بين إمكانية التبادل بين فكرتي النقطة والخط وبغتة بات واضحا أن طبيعة الرياضيات صورية أكثر منها حدسية ليس ما يعنينا في الرياضيات هو طبيعة الأشياء، بل العلاقات التي توجد بينها.
وأيضا أدركوا أن خصائص هندسية معينة تشكل كلا متسقا بشأن تصورات المسافة أو الدائرة أو الزاوية القائمة وبالتالي يمكن النظر إلى مثل هذه الخصائص على أنها في ذاتها هندسة تسمى الهندسة المترية. خصائص أخرى تكون لامتغيرة invariant مع الإسقاط - من مستوى لآخر، مثلا وهذه هي الخصائص الإسقاطية. كان فليكس كلاين ... Klein هو الذي أوضح في العام 1872 وجود مثل هذه العائلات من الخصائص الأوتونومية، وذلك في محاضرته الافتتاحية في جامعة إيرلانغن Erlangen اختزلت الهندسة الإسقاطية إلى التعبير في صورة مبرهنات عن تلك الخصائص الجبرية اللامتغيرة تحت تأثير زمرة مجموعة معينة من تحويلات الإحداثيات أي زمرة التحويلات الإسقاطية وبالمثل بالنسبة إلى الهندسة المترية، التي تعبر مبرهناتها عن علاقات جبرية لامتغيرة بالنسبة إلى زمرة تحويل مختلفة - زمرة تحويل تغيرات إحداثي من نظام محاور متعامد إلى آخر. وبمزيد من العمومية. نجد الهندسة مرتبطة دائما بزمرة معينة، وفي مثل هذه الظروف لا يدهشنا أن نرى نوبة اهتمام متزايد تتجه نحو البنيات الجديدة التي تضفي النسقية على الرياضيات، وتبتعد عن الأشياء ذاتها - النقاط والمسافات والإسقاطات.
على هذا النحو أغلق القرن التاسع عشر أبوابه، وثمة فيض وافر من النتائج الجديدة. أحيانا تكون عميقة، ويتصادف أن تكون لطيفة ظريفة. أعيد ترسيم الحدود بين الأنظمة، وكادت تختفي الفواصل بين أكثر الأنظمة مهابة. إن صميم طبيعة الرياضيات يتغير. وبعد أن كانت الرياضيات علما يمتلك موضوعات تقليدية للدراسة، أصبحت علم العلاقات الكلي؛ وبمغزى معين أصبحت علم البنيات التي يمكن أن تنشأ في أي علم، مثل هذه الخصوبة فرضت على الرياضيات أن تعيد ترتيب بيتها .

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

العتبة العباسية المقدسة: نهج البلاغة مصدر صافٍ للفكر والمعرفة ومحصِّنٌ من الشبهات

العتبة العباسية المقدسة تطلق محاضرات محفل نهج البلاغة الأسبوعي في ذي قار

العتبتان المقدستان الحسينية والعباسية تدعوان للمشاركة في مهرجان الشموع بنسخته السادسة والعشرين

بالتعاون مع مستشفى الكفيل.. قسم الشؤون الطبّية يواصل إقامة البرنامج التدريبي لملاكاته النسوية

المزيد

الآخبار الصحية

الصحة العالمية تكشف حقيقة انتشار فيروس نيباه خارج الهند

متى يصبح محيط الخصر "مؤشر خطر"؟

دراسة تكشف دور "العوامل الوراثية" في تحديد عمر الإنسان

رائحة كريهة في الجسم.. "علامة خفية" أخطر مما تتصور

المزيد

الآخبار التكنلوجية

مايكروسوفت تكشف عن الجيل الثاني من شرائحها للذكاء الاصطناعي

خرافة "ثمانية أكواب يوميا".. كم من الماء يحتاج جسمك فعليا؟

هل توجد حياة خارج كوكبنا؟.. اكتشاف جديد يثير اهتمام العلماء

اكتشاف الخلايا المسؤولة عن فقدان ذاكرة الطفولة

المزيد

مواضيع ذات صلة

ما الرياضيات؟

السوسيولوجية الرياضية

ترويض اللا نهاية

رباعي أضلاع ساكري Saccheri quadrilateral

الرياضيات واللا نهاية (اللانهاية في الرياضيات وأثرها على الفيزياء الحديثة)

القضايا(التمثيل الصوري للحقائق)

الرموز والفئات (البنية الصورية للرياضيات والحوسبة في الفيزياء)

مبرهنة عدم الاكتمال لغودل

الواقعية الرياضية

الرياضيات الكلاسيكية

رياضيات العصر الحاضر

Superposition of solutions