Banach-Tarski Paradox

First stated in 1924, the Banach-Tarski paradox states that it is possible to decompose a ball into six pieces which can be reassembled by rigid motions to form two balls of the same size as the original. The number of pieces was subsequently reduced to five by Robinson (1947), although the pieces are extremely complicated. (Five pieces are minimal, although four pieces are sufficient as long as the single point at the center is neglected.) A generalization of this theorem is that any two bodies in  that do not extend to infinity and each containing a ball of arbitrary size can be dissected into each other (i.e., they are equidecomposable).

---

REFERENCES

Banach, S. and Tarski, A. "Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes." Fund. Math. 6, 244-277, 1924.

Czyz, J. Paradoxes of Measures and Dimensions Originating in Felix Hausdorff's Ideas. Singapore: World Scientific, 1993.

Erickson, G. W. and Fossa, J. A. Dictionary of Paradox. Lanham, MD: University Press of America, pp. 16-17, 1998.

French, R. M. "The Banach-Tarski Theorem." Math. Intell. 10, No. 4, 21-28, 1988.

Gardner, M. The Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American. Chicago, IL: University of Chicago Press, p. 48, 1984.

Hertel, E. "On the Set-Theoretical Circle-Squaring Problem." http://www.minet.uni-jena.de/Math-Net/reports/sources/2000/00-06report.ps.Kirsch, A. "Das Paradoxon von Hausdorff, Banach und Tarski: Kann man es 'verstehen'?" Math. Semesterber. 37, 216-239, 1990.

Robinson, R. M. "On the Decomposition of Spheres." Fund. Math. 34, 246-260, 1947.

Sierpiński, W. "On the Congruence of Sets and their Equivalence by Finite Decomposition." In Congruence of Sets and Other Monographs. New York: Chelsea.Stromberg, K. "The Banach-Tarski Paradox." Amer. Math. Monthly 86, 3, 1979.

Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, p. 103, 2004.

 http://www.mathematicaguidebooks.org/.Wagon, S. "A Hyperbolic Interpretation of the Banach-Tarski Paradox." Mathematica J. 3, 58-60, 1993.Wagon, S. The Banach-Tarski Paradox. New York: Cambridge University Press, 1993.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

قسم الشؤون الدينية يُطلق دورة فقهية دينية لملاكات مستشفى الكفيل

شعبة فاطمة بنت أسد للدراسات القرآنية تعلن نتائج مسابقة (ميثاق الرسول)

شعبة الخطابة الحسينية النسوية تنظّم مسابقة فرقية لطالبات برنامج ثمار العطاء

قسم العلاقات ينظم ورشة عن فن الإقناع والتواصل الفعّال للطلبة المنسقين

المزيد

الآخبار الصحية

تغيير بسيط في نمط التفكير قد يحدث فرقا كبيرا لصحة الدماغ ؟

لماذا ينعشنا المشروب الساخن في الطقس الحار؟

علماء يكتشفون فئة دم فريدة من نوعها في العالم !

لماذا ينصح الأطباء بزيت الزيتون يوميا؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

حساس الإطارات.. ما هو وعلامات تلفه وكيفية صيانته؟

ما معنى أودي Quattro؟ سر الأداء والتميز الهندسي ؟!

فصل الشاحن أم الهاتف أولا؟.. عادات بسيطة تطيل عمر البطارية

تعود للقرن الرابع قبل الميلاد.. اكتشاف بقايا "إيمت" المصرية

المزيد

مواضيع ذات صلة

Lemma

Proof

Zeno,s Paradoxes

Unexpected Hanging Paradox

Strange Loop

Sorites Paradox

Simpson,s Paradox

Russell,s Antinomy

Paradox

Newcomb,s Paradox

Missing Dollar Paradox

Line Point Picking