Let  be a field of finite characteristic . Then a polynomial  is said to be additive iff  for {a,b,a+b} subset k" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline5.gif" style="height:14px; width:90px" />. For example,  is additive for {1,2}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline7.gif" style="height:14px; width:54px" />, since

A more interesting class of additive polynomials known as absolutely additive polynomials are defined on an algebraic closure  of . For example, for any such ,  is an absolutely additive polynomial, since , for , ..., . The polynomial  is also absolutely additive.

Let the ring of polynomials spanned by linear combinations of  be denoted {tau_p}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline17.gif" style="height:20px; width:33px" />. If , then {tau_p}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline19.gif" style="height:20px; width:33px" /> is not commutative.

Not all additive polynomials are in {tau_p}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline20.gif" style="height:20px; width:33px" />. In particular, if  is an infinite field, then a polynomial  is additive iff {tau_p}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline23.gif" style="height:20px; width:75px" />. For  be a finite field of characteristic , the set of absolutely additive polynomials over  equals {tau_p}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline27.gif" style="height:20px; width:33px" />, so the qualification "absolutely" can be dropped and the term "additive" alone can be used to refer to an element of {tau_p}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline28.gif" style="height:20px; width:33px" />.

If  is a fixed power  and , then {tau}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline32.gif" style="height:14px; width:26px" /> is a ring of polynomials in . Moreover, if {tau}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline34.gif" style="height:14px; width:68px" />, then  for all . In this case,  is said to be a -linear polynomial.

The fundamental theorem of additive polynomials states that if  is a separable polynomial and {omega_1,...,omega_n} subset k" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline40.gif" style="height:14px; width:93px" /> is the set of its roots, then  is additive iff if {omega_1,...,omega_n}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/AdditivePolynomial/Inline42.gif" style="height:14px; width:72px" /> is a subgroup.

It therefore follows as a corollary that such a polynomial  is -linear iff its roots form a -vector subspace of .

REFERENCES:

Goss, D. Basic Structures of Function Field Arithmetic. Berlin: Springer-Verlag, pp. 1-33, 1996.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي للقرآن الكريم يصدر الكتاب الثاني من سلسلة يخشى

قسم الشعائر يكرّم أصحاب المواكب المشاركة في إحياء ذكرى شهادة السيدة الزهراء (عليها السلام)

جامعة العميد تستقبل طلبة المراحل الأولى المقبولين ضمن كلياتها للعام الدراسي الجديد

سماحة السيد الصافي يكرّم طلبة حفظ القرآن الكريم المتفوّقين ويؤكّد دور التدبّر في الهداية والتكامل

المزيد

الآخبار الصحية

طبيب يكشف تأثير برودة الشتاء على النوم

دون أن تعلم.. 10 عادات يومية تسرع شيخوخة جسمك

تقرير: النيكوتين خطر على القلب مهما كانت الطريقة

أيهما أفضل لصحتك.. زبدة الفول السوداني أم النوتيلا؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

السعودية تدشن أكبر نظام لتخزين الكهرباء بالبطاريات في العالم !

بأمر تنفيذي.. ترامب يؤكد هدف عودة الأميركيين إلى القمر في عام 2028

بعيدا عن البشر.. "قتال جوي في الفضاء" بين أميركا والصين

كشف مذهل في قاع "برمودا" !

المزيد