تحويل لورنتز للسرعة

لكي نستنتج معادلات تحويل السرعة للورنتز تفرض أن جسما يتحرك بسرعة منتظمة ( أي أن العجلة المؤثرة عليه تساوي صفر) موجود في الإطار المرجعي S^/  عند النقطة X^/₁    في الزمن t^/₁  و عند النقطة X^/₂    عند الزمن t^/₂   و من ثم تكون سرعته المقاسه في الإطار المرجعي S^/ هي U^/_X  و تعطي من المعادلة

 (1)

و من المعادلة الاتية :

 نستنتج أن:

 (2)

 (3)

و بالتعويض من هاتين المعادلتين في المعادلة  (1) نحصل على:

 (4)

و لكن dX/dt   هي مركبة السرعة   U_X  للجسم مقاسه في الاطار المرجعي S  و بذلك تكتب المعادلة (4) على الصورة:

 (*)

أيضا يمكننا استنتاج معادلات لورانتز لتحويل السرعة في الاتجاهين Y، Z ، حيث أن

و بالتعويض من المعادلة (3) في هاتين المعادلتين نحصل على:

   (**)

 (***)

 و تسمى المعادلات (*) و (**) و (***)  معادلات لورانتز لتحويل السرعة.

(5)

و نلاحظ بدهشة أن مركبات السرعة في الاتجاهين Y، Z  لجسم بالنسبة للراصد في الإطار S^/  تعتمد على مركبة السرعة في اتجاه  X  المقاسة بواسطة الراصد في الإطار S.

 و من هذه المعادلة نستنتج أيضا، أنه إذا وصلت سرعة الجسم إلى سرعة الضوء نجد أن

و معنى هذا أنه إذا كانت سرعة الجسم تساوي C  بالنسبة لمشاهد في الإطار المرجعي S  فهي تساوى C  أيضا بالنسبة لمشاهد  في إطار مرجعي آخرS^/  و هذا يتمشى مع افتراض أينشتين الثاني حيث أن سرعة الضوء مقدار ثابت في كل الأطر المرجعية.

و لكي نوجد تحويل لورانتز العكسي للسرعة نضع في المعادلة (3)  v بدل - v  و نستبدل المركبات ذات الشرطة بنظيراتها بدون شرطة  

(6)