المعادلة العامة للمرايا الكروية 

الشكل (1)

يوضح الشكل (1) مرآة مقعرة موضوع أمامها جسم نقطي (A) ويصدر منه شعاعان : الشعاع (AQ) وينعكس هذا بحيث يلتقي مع المحور الرئيس في (A`) والشعاع (Av) يرتد على نفسه ، وبذلك يلتقى الشعاعان المنعكسان في (A`‏) ، وبذلك فإن خيال الجسم النقطي (A) ‏هو (A`) دعنا الآن نتوصل إلى العلاقة التي تربط بين بعد الجسم عن المرآة (S) وبعد خياله عنها S`)) لتكن الزاوية التي يصنعها الشعاع مع المحور الرئيس (0) ولتكن الزاوية التي يصنعها (AQ‏) مع المحور الرئيس (u). والزاوية التي يصنعها (Qc) مع المحور الرئيس (u`) ‏اذا كانت زاوية سقوط الشعاع (AQ) هي (Φ) ، فإن زاوية انعكاسه هي (`Φ‏) بحيث أن )Φ' = Φ( وبالاعتماد على الحقيقة أن الزاوية الخارجة للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخلتين ما عدا المجاورة لها ، وبأخذ المثلثين (PQC‏) و (PQ`C) ، نحصل على :

‏وبحذف (Φ‏) من هاتين المعاملتين نحصل على :

وبحذف )Φ) من هاتين المعادلتين نحصل على :

(1) ………..   

‏لننزل عمودا من (Q) على المحور الرئيس ، وليكن هذا العمود (Qv`) ، وليكن طول هذا العمود ((h‏ والمسافة (vv`‏) هي s ‏.

‏دعنا الآن نكتب العلاقات التي تعطي ظل كل من الزوايا , u` , uθ

(2)...........

‏وإذا كانت الزوايا , u` , u θ صغيرة ، فإنه يمكن تعويض قيم هذه الزوايا (بوجود الراديان) بدل ظلال هذه الزوايا ، كذلك اذا كانت (u) صغيرة ، فإن (s) صغيرة جدا لدرجة يمكن إهمالها وبذلك فان العلاقات لظلال الزوايا أعلاه تصبح كما يأتي :

...............(3)

وبتعويض قيم , u` , u θ من العلاقة (1) في العلاقات (3‏) وبالا‏ختصار على (‏نحصل على) :

.(4).........

‏فإن العلاقة (4‏) تصبح كما يأتي :

.(5).........

تسمى العلاقة (4) أو العلاقة (5‏) المعاملة العامة للمرايا الكروية .

وعند استخدام أي من هاتين العلاقتين يؤخذ بعين الاعتبار ما يأتي :

1- (s) موجبة للجسم الحقيقي ، والجسم الحقيقي هي كل جسم (أو خيال جسم) تتفرق منه الأشعة الضوئية .

2‏- (s) سالبة للجسم الخيالي ، والجسم الخيالي هو أي جسم (أو خيال جسم) تتجمع

‏الأشعة الضوئية فيه .

3- (S`) موجبة للخيال الحقيقي وسالبة للخيال الوهمي .

4- (f) أو (R‏) موجبة للمرآة المقعرة وسالبة للمرآة المحدبة .

‏من الملاحظ أن حجم الخيال يختلف عن حجم الجسم في أغلب الأحيان ، فقد يكون الخيال اكبر وقد يكون أصغر ، لذا دعنا نتحدث عن التكبير ، في المرآة المقعرة أو المحدبة أو مجموعة من المرايا المقعرة والمحبة يساوي النسبة بين طول الخيال وطول الجسم سراء كان الخيال حقيقيا أم وهميا ، وسواء كان معتدلا أم مقلوبا . وبالرجوع إلى الشكل (١3‏-١0‏- أ) . فإن التكبير (M) ‏يساوي :

‏أي أن التكبير في المرايا الكروية يساوي :