Flat Minkowski spacetime, null coordinates, and the Penrose diagram

In this section, we are going to analyze the Schwarzschild solution, in particular its singularity structure. For this purpose we will first have a look at null coordinates. The simplest testing ground in this context is the (flat) Minkowski space. Its metric, in Cartesian and spherical polar coordinates, reads (c = 1) as

 ds² = −dt² + dx² + dy² + dz² = −dt² + dr² + r ² dΩ².   (1.1)

We define advanced and retarded null coordinates as follows

v := t +r      u:= t − r (1.2)

Figure 1.1. Minkowski spacetime in null coordinates.

and find that

 (1.3)

In figure 1.1 we show the Minkowski spacetime in terms of the new coordinates. Incoming photons, i.e. pointlike particles with velocity ˙ r = −c = −1, move on paths with v = constant. Correspondingly, we have for outgoing photons u = constant. The special relativistic wave equation is solved by any function f (u) and f (v). The surfaces f (u) = constant and f (v) = constant represent the wavefronts which evolve with the velocity of light. The trajectory of every material particle with v < c = 1 has to remain inside the region defined by the surface r = t. In an (r, t)-diagram this surface is represented by a cone, the so called light cone. Any point in the future light cone r = t can be reached by a particle or signal with a velocity less than c. A given spacetime point P can be reached by a particle or signal from the spacetime region enclosed by the back light cone r = −t.

We can map, following Penrose, the infinitely distant points of spacetime into finite regions by means of a conformal transformation which leaves the light cones intact. Then we can display the whole infinite Minkowski spacetime on a (finite) piece of paper. Accordingly, introduce the new coordinates

 (1.4)

Then the metric reads as

 (1.5)

We can go back to time- and spacelike coordinates by means of the transformation

 (1.6)

see (1.1). Then the metric reads as

 (1.7)

that is, up to the function in the denominator, it appears as a flat metric. Such a metric is called conformally flat (it is conformal to a static Einstein cosmos). The back-transformation to our good old Minkowski coordinates reads:

           (1.8)

 (1.9)

Our new coordinates ˜t , ř extend only over a finite range of values, as can be seen from (1.8), (1.9). Thus, in the Penrose diagram of a Minkowski spacetime, we can depict the whole Minkowski spacetime, with a coordinate singularity along ř = 0. All trajectories of uniformly moving particles (with velocity smaller than c) emerge from one single point, past infinity I ⁻, and all will eventually arrive at the one single point I⁺, namely at future infinity. All incoming photons have their origin on the segment ⁻ (script I ⁻ or ‘scri minus’), lightlike past infinity, and will run into the coordinate singularity on the ˜t-axis. All outgoing photons arise from the coordinate singularity and cease on the line ⁺, lightlike future infinity (‘scri plus’). The entire spacelike infinity is mapped into the single point I ⁰.

Now, we have a really compact picture of the Minkowski space. Next, we would like to proceed along similar lines in order to obtain an analogy for the Schwarzschild spacetime.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

مواكب العزاء الحسينية تواصل برنامجها العزائي لشهر المحرم الحرام 1447هـ

شعبة الخطابة النسوية تقيم مجلس عزاء بحلول شهر المحرم الحرام

قسم الشؤون الفكرية يواصل تنظيم الورش التربوية والدينية ضمن برنامج التطوير الحسيني

سماحة السيد الصافي يستعرض عددًا من الوثائق التي تبيّن ما تعرّض له خَدَمة الإمام الحسين (عليه السلام) من قمعٍ وتضييقٍ وانتهاكات

المزيد

الآخبار الصحية

دراسة تكشف علاقة خطيرة بين عمر الأم وصحة مولودها

دراسة تحذر.. اضطراب نوم بسيط قد يسبب الموت المبكر ؟

الاستحمام بالماء الساخن.. راحة مؤقتة وأضرار دائمة للبشرة

ماذا يحدث للجسم عند تخطي وجبة الإفطار؟

المزيد

الآخبار التكنلوجية

كيف تساعد الصيانة الوقائية في الحفاظ على كفاءة التكييف في سيارتك ؟

في ظاهرة غريبة حيرت العلماء.. كوكبنا قد يسجل أقصر يوم في التاريخ هذا الصيف!

السد الصيني العملاق يعيق دوران الأرض ويغيّر شكلها ؟

السعودية تطلق 10 تجارب علمية إلى محطة الفضاء الدولية

المزيد

مواضيع ذات صلة

التأثير في الزمن: ثبات سرعة الضوء وتهاوي المفهوم المطلق للزمن

أبعاد أكثر مما تراه العين

النسبية العامة في مواجهة ميكانيكا الكم

المكان والزمان وعين الراصد

هل هي موجة أم جسيمة؟

الحاجة إلى نظرية جديدة النسبية العامة في مواجهة ميكانيكا الكم

(التأثير في الزمن) تأثير الحركة على مرور الزمن: الساعة الضوئية وتباطؤ الزمن

الحركة خلال الزمكان (Spacetime)

تموجات في نسيج الزمكان: حين لحقت الجاذبية بالضوء (حل التناقض)

مرة أخرى اعوجاج الزمان(حين يتباطأ الزمن تحت ثقل الجاذبية)

التسارع واعوجاج المكان والزمان

عن الاعوجاجات والتموجات( في الزمكان )