نتائج إضافية على الأنظمة الخطية وقابلية للانعكاس:

نقدم في هذا البند إضافية للأنظمة الخطية وقابلية انعكاس المصفوفات. علاوة على معرفة طريقة جديدة لحل n من المعادلات التي تحتوي على n من المتغيرات.

مبرهنة (1-1):

نظام المعادلات الخطية:

1. ما لا يحتوي على حل.

2. او يحتوي على حل واحد فقط.

3. أو له عدد غير منتهي من الحلول.

البرهان:

ليكن Ax = B نظام لمعادلات خطية، فإن بالضبط واحد من الاحتمالات أعلاه يكون صحيحاً. نفرض أن النظام Ax = B له اكثر من حل و x_○ =x₁-x₂ حيث x₂ , x₁ حلان معينان للنظام. عليه فإن x_o لا يساوي صفر، إضافة لذلك:

وإذا افترضنا K ثابت فإن:

  بما ان x_n لا يساوي صفر فإن Ax = R له اكثر من حل.

لقد قدمنا في البنود السابقة طريقتين، لحل النظام الخطي هما:

1. طريقة حذف كاوس.

2. طريقة حذف كاوس ــ جوروان.

وسنقوم بتوضيح طريقة أخرى لحل النظام الخطي.

مبرهنة (1-2):

إذا كانت A مصفوفة سعتها  n x n وقابلة للانعكاس ، فإن النظام الخطي AX = B له حل واحد فقط.

                                                                   X = A^-1B

البرهان:

بما أن A(A^-1B) = B ، فإن A^-1B هو حل للمعادلة AX = B. ولكي نثبت بأنه الحل الوحيد، نفرض أن X₁ هو حل آخر لا على اليقين.

لذا فإن AX₁ = B، بالضرب في A^-1 نحصل على X₁ = A^-1B . ومنها X₁ = X.

مثال(1):

حل النظام الآتي:

الحل:

1. نكتب النظام أعلاه بالشكل AX = B.

2. توجد معكوس المصفوفة A بإحدى الطرق السابقة.

3. الحل هو:

أو:

                                      X₃ = -4      ,   X₂ = -8       ,   X₁ = 25

مبرهنة (1-3):

لتكن A مصفوفة مربعة

1. إذا كانت المصفوفة المربعة B تحقق BA = I_n فإن B = A^-1

2. إذا كانت المصفوفة المربعة B تحقق  AB = I_n فإن B = A^-1

البرهان:

نفرض BA = I_n، بضرب الطرفين من جهة اليمين في A^-1 نحصل على BAA = IA أو BI = IA

مبرهنة (1-4):

إذا كانت A مصفوفة مربعة سعتها n x n ، فإن الصيغ الآتية متكافئة.

A  .1 قابلة للانعكاس.

AX = 0   .2 لها حل واحد هو الحل الصفري.

3. الصيغة المدرجة المختزلة للمصفوفة A هي I_n.

4. يمكن كتابة A كحاصل ضرب مصفوفات بسيطة.

5.  النظام AX = B  متسق لكل مصفوفة B ذات السعة n x 1 .

مثال (2):

ما هي الشرط على b₃,b₂,b₁ لكي يكون النظام الآتي منسقاً.

الحل:

باستخدام عمليات صف بسيطة على  المصفوفة الممتدة.

واضح من شكل المصفوفة أعلاه أن النظام الخطي متسق إذا تحقق الشروط:

بمعنى آخر أن النظام الخطي AX = B متسق إذا وفق إذا كانت:

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

المجمع العلمي يواصل إقامة مسابقة الثقلين القرآنية لطلبة مدارس كربلاء

عضو مجلس إدارة العتبة العباسية المقدسة يطلع على آليات تطوير البرامج التعليمية في مجموعة العميد

مجموعة مناحل الكفيل تختتم مشاركتها في معرض السليمانية الدولي للزراعة والصناعات الغذائية

لتوثيق التراث العلمي.. وفد قسم شؤون المعارف يلتقي عددًا من أعلام مدينة النجف

المزيد

الآخبار الصحية

ثورة طبية.. الذكاء الاصطناعي يكشف سرطان الكلى في وقت قياسي

لتعزيز الطاقة والتغلب على التعب.. عليك بـ7 طرق بسيطة

لتحسين الهضم والتحكم في الشهية.. ما أفضل وقت لتناول التمر؟

خبراء يكشفون تأثير الاستحمام في الظلام على جودة النوم !

المزيد

الآخبار التكنلوجية

إزالة ثاني أكسيد الكربون من الغلاف الجوي.. ما دور المحيطات والبحار؟

نظائر الهيليوم مقياس لاكتشاف رواسب الذهب.. كيف ذلك؟

الصين تطلق أول ناقلة نفط خام ذكية في العالم تعمل بالميثانول

الزمن على المريخ أسرع من الأرض.. دراسة علمية تكشف الفوارق

المزيد

مواضيع ذات صلة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-تمارين محلولة

فضاء المتجهات الإقليدي-الفضاء الاقليدي النوني

فضاء المتجهات العام- فضاء المتجهات الحقيقي

فضاء المتجهات العام-رتبة المصفوفات بعد الفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام-فضاء الصفوف وفضاء الأعمدة والفضاء الصفري

فضاء المتجهات العام- الأساس والبعد

فضاء المتجهات العام-الفضاءات الجزئية

فضاء الضرب الداخلي-الأساسات المتعامدة طريقة كرام ــ شمت

فضاء الضرب الداخلي-الضرب الداخلي

فضاء الضرب الداخلي-المصفوفات المتعامدة، تبديل الأساسات

فضاء الضرب الداخلي-الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي