0
EN
1
المرجع الالكتروني للمعلوماتية

الرياضيات

تاريخ الرياضيات

الاعداد و نظريتها

تاريخ التحليل

تار يخ الجبر

الهندسة و التبلوجي

الرياضيات في الحضارات المختلفة

العربية

اليونانية

البابلية

الصينية

المايا

المصرية

الهندية

الرياضيات المتقطعة

المنطق

اسس الرياضيات

فلسفة الرياضيات

مواضيع عامة في المنطق

الجبر

الجبر الخطي

الجبر المجرد

الجبر البولياني

مواضيع عامة في الجبر

الضبابية

نظرية المجموعات

نظرية الزمر

نظرية الحلقات والحقول

نظرية الاعداد

نظرية الفئات

حساب المتجهات

المتتاليات-المتسلسلات

المصفوفات و نظريتها

المثلثات

الهندسة

الهندسة المستوية

الهندسة غير المستوية

مواضيع عامة في الهندسة

التفاضل و التكامل

المعادلات التفاضلية و التكاملية

معادلات تفاضلية

معادلات تكاملية

مواضيع عامة في المعادلات

التحليل

التحليل العددي

التحليل العقدي

التحليل الدالي

مواضيع عامة في التحليل

التحليل الحقيقي

التبلوجيا

نظرية الالعاب

الاحتمالات و الاحصاء

نظرية التحكم

بحوث العمليات

نظرية الكم

الشفرات

الرياضيات التطبيقية

نظريات ومبرهنات

علماء الرياضيات

500AD

500-1499

1000to1499

1500to1599

1600to1649

1650to1699

1700to1749

1750to1779

1780to1799

1800to1819

1820to1829

1830to1839

1840to1849

1850to1859

1860to1864

1865to1869

1870to1874

1875to1879

1880to1884

1885to1889

1890to1894

1895to1899

1900to1904

1905to1909

1910to1914

1915to1919

1920to1924

1925to1929

1930to1939

1940to the present

علماء الرياضيات

الرياضيات في العلوم الاخرى

بحوث و اطاريح جامعية

هل تعلم

طرائق التدريس

الرياضيات العامة

نظرية البيان

قم بتسجيل الدخول اولاً لكي يتسنى لك الاعجاب والتعليق.

Generalized Hyperbolic Functions

المؤلف:  Kaufman, H.

المصدر:  "A Biographical Note on the Higher Sine Functions." Scripta Math. 28

الجزء والصفحة:  ...

3-6-2019

2093

+

-

20

Generalized Hyperbolic Functions

 

In 1757, V. Riccati first recorded the generalizations of the hyperbolic functions defined by

F_(n,r)^alpha(x)=sum_(k=0)^infty(alpha^k)/((nk+r)!)x^(nk+r),

(1)

for r=0, ..., n-1, where alpha is complex, with the value at x=0 defined by

F_(n,0)^alpha(0)=1.

(2)

This is called the alpha-hyperbolic function of order n of the rth kind. The functions F_(n,r)^alpha satisfy

f^((k))(x)=alphaf(x),

(3)

where

f^((k))(0)=<span style={0 k!=r, 0<=k<=n-1,; 1 k=r. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GeneralizedHyperbolicFunctions/NumberedEquation4.gif" style="height:41px; width:198px" />

(4)

In addition,

d/(dx)F_(n,r)^alpha(x)=<span style={F_(n,r-1)^alpha(x) for 0<r<=n-1; alphaF_(n,n-1)^alpha(x) for r=0. " src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/GeneralizedHyperbolicFunctions/NumberedEquation5.gif" style="height:46px; width:261px" />

(5)

The functions give a generalized Euler formula

e^(RadicalBox[alpha, n])=sum_(r=0)^(n-1)(RadicalBox[alpha, n])^rF_(n,r)^alpha(x).

(6)

Since there are n nth roots of alpha, this gives a system of n linear equations. Solving for F_(n,r)^alpha gives

F_(n,r)^alpha(x)=1/n(RadicalBox[alpha, n])^(-r)sum_(k=0)^(n-1)omega_n^(-rk)exp(omega_n^kRadicalBox[alpha, n]x),

(7)

where

omega_n=exp((2pii)/n)

(8)

is a primitive root of unity.

The Laplace transform is

int_0^inftye^(-st)F_(n,r)^alpha(at)dt=(s^(n-r-1)a^r)/(s^n-alphaa^n).

(9)

The generalized hyperbolic function is also related to the Mittag-Leffler function E_n(x) by

F_(n,0)^1(x) = E_n(x^n)

(10)
= sum_(k=0)^(infty)(x^(kn))/((kn)!).

(11)

The values n=1 and n=2 give the exponential and circular/hyperbolic functions (depending on the sign of alpha), respectively.

F_(1,r)^alpha(x) = (e^(alphax)x^r)/((xalpha)^r)(Gamma(r)-Gamma(r,alphax))/(Gamma(r))

(12)
F_(2,r)^alpha(x) = (x^r)/(r!)_1F_2(1;1/2(1+r),1+1/2r;1/4alphax^2).

(13)

In particular

F_(1,0)^alpha(x) = e^(alphax)

(14)
F_(2,0)^alpha(x) = cosh(sqrt(alpha)x)

(15)
F_(2,1)^alpha(x) = (sinh(sqrt(alpha)x))/(sqrt(alpha)).

(16)

For alpha=1, the first few functions are

F_(1,0)^1(x) = e^x

(17)
F_(2,0)^1(x) = coshx

(18)
F_(2,1)^1(x) = sinhx

(19)
F_(3,0)^1(x) = 1/3[e^x+2e^(-x/2)cos(1/2sqrt(3)x)]

(20)
F_(3,1)^1(x) = 1/3[e^x+2e^(-x/2)cos(1/2sqrt(3)x+1/3pi)]

(21)
F_(3,2)^1(x) = 1/3[e^x+2e^(-x/2)cos(1/2sqrt(3)x-1/3pi)]

(22)
F_(4,0)^1(x) = 1/2(coshx+cosx)

(23)
F_(4,1)^1(x) = 1/2(sinhx+sinx)

(24)
F_(4,2)^1(x) = 1/2(coshx-cosx)

(25)
F_(4,3)^1(x) = 1/2(sinhx-sinx).

(26)

REFERENCES:

Kaufman, H. "A Biographical Note on the Higher Sine Functions." Scripta Math. 28, 29-36, 1967.

Muldoon, M. E. and Ungar, A. A. "Beyond Sin and Cos." Math. Mag. 69, 3-14, 1996.

Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A K Peters, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.

Ungar, A. "Generalized Hyperbolic Functions." Amer. Math. Monthly 89, 688-691, 1982.

Ungar, A. "Higher Order Alpha-Hyperbolic Functions." Indian J. Pure. Appl. Math. 15, 301-304, 1984.

لا توجد تعليقات بعد

ما رأيك بالمقال : كن أول من يعلق على هذا المحتوى

الاكثر قراءة في التفاضل و التكامل

اخر الاخبار

اشترك بقناتنا على التلجرام ليصلك كل ما هو جديد

EN