If  is an arbitrary integer relatively prime to  and  is a primitive root of , then there exists among the numbers 0, 1, 2, ..., , where  is the totient function, exactly one number  such that

The number  is then called the discrete logarithm of  with respect to the base  modulo  and is denoted

The term "discrete logarithm" is most commonly used in cryptography, although the term "generalized multiplicative order" is sometimes used as well (Schneier 1996, p. 501). In number theory, the term "index" is generally used instead (Gauss 1801; Nagell 1951, p. 112).

For example, the number 7 is a positive primitive root of  (in fact, the set of primitive roots of 41 is given by 6, 7, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 22, 24, 26, 28, 29, 30, 34, 35), and since , the number 15 has multiplicative order 3 with respect to base 7 (modulo 41) (Nagell 1951, p. 112). The generalized multiplicative order is implemented in the Wolfram Language as MultiplicativeOrder[g, n, {" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DiscreteLogarithm/Inline14.gif" style="height:15px; width:5px" />a1}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DiscreteLogarithm/Inline15.gif" style="height:15px; width:5px" />], or more generally as MultiplicativeOrder[g, n, {" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DiscreteLogarithm/Inline16.gif" style="height:15px; width:5px" />a1, a2, ...}" src="http://mathworld.wolfram.com/images/equations/DiscreteLogarithm/Inline17.gif" style="height:15px; width:5px" />].

Discrete logarithms were mentioned by Charlie the math genius in the Season 2 episode "In Plain Sight" of the television crime drama NUMB3RS.

REFERENCES:

Gauss, C. F. §57 in Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig, Germany, 1801. Reprinted New Haven, CT: Yale University Press, 1965.

Nagell, T. "Exponent of an Integer Modulo " and "The Index Calculus." §31 and 33 in Introduction to Number Theory. New York: Wiley, pp. 102-106 and 111-115, 1951.

Schneier, B Applied Cryptography: Protocols, Algorithms, and Source Code in C, 2nd ed. New York: Wiley, 1996.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

العتبة العباسية المقدسة تقيم مهرجان (مرجعية وطن) في جامعة كربلاء

قسم الإعلام يُنظّمُ دورتين تطويريتين في الذكاء الاصطناعي والتصوير الفيديوي لملاكات العتبة العباسية المقدسة

المجمَع العلمي يصدر كتابًا جديدًا بعنوان (حتى الشرطية: دراسة دلالية في النص القرآني)

سماحة السيد الصافي يبارك لمنتسبي العتبة العباسية المقدسة تسلمهم قطع أراضي مدينة القمر السكنية

المزيد

الآخبار الصحية

للطاقة وحماية القلب.. ما "التوقيت الذهبي" لأكل المكسرات؟

دراسة تكشف فائدة القيلولة لمدة 45 دقيقة

اختيار الزبادي الأنسب.. قرار يحدد مسار صحتك

هل يعدّ الصيام المتقطع حلا سحريا لخسارة الوزن؟.. دراسة تجيب

المزيد

الآخبار التكنلوجية

"علي بابا" تكشف عن نموذج جديد للذكاء الاصطناعي

اختراق علمي جديد.. استشعار ضوئي يرصد "دلالات السرطان"

وكالة الإمارات للفضاء تعلن تمديد مهمة "مسبار الأمل" حتى 2028

ظاهرة مذهلة .. شهدها 2 بالمئة من سكان العالم فقط

المزيد