حالـة التـكاليـف المتـزايـدة والمـدى الـزمنـي 2
المؤلف:
د . حمد بن محمد آل الشيخ
المصدر:
اقتصاديات الموارد الطبيعية والبيئة
الجزء والصفحة:
ص130 - 138
2025-08-22
377
مثال (2):
حقل نفط دالة تكاليف استخراجه هي: MC =5 + Rt ومعكوس دالة الطلب عليه هيt a - bR = Pt
حيث 0.5 = b ، 50 = a ؛ علماً بأن المخزون الابتدائي في هذا الحقل هو 105 وسعر الخصم 0.1 = r والزمن 2 = T .
1. كون مسألة التعظيم لعائد الإنتاج ودالة لاجرانج في هذه الحالة.
2. استنتج الشروط الضرورية والكافية لتعظيم عائد الإنتاج من هذا الحقل مع شرحها.
3. أوجد مستويات الاستخراج المثلى والمخزون المتبقي.
4. ما هي القيمة الحالية لربح منتج المورد عبر الزمن؟
.5 في حالة كون التكاليف الحدية لاستخراج النفط كمورد ناضب أصبحت متزايدة كلما أنخفض المخزون المتبقي، فكيف يمكن تمثيلها رياضياً في هذه الحالة؟ وكيف ستؤثر بيانياً على دالة التكاليف؟
خطوات الحل :
1. تكوين مسألة أو أنموذج التحكم الأمثل:
الهدف من استخدام أنموذج هوتلنج هو تحديد الكمية المثلى خلال المدة الزمنية التخطيطية المأخوذة في الاعتبار التي تعظم القيم الحالية لعوائد استغلال المورد القابل للنضوب خلال تلك المدة ويتم هذا بعمل خطوتين
الخطوة الأولى: تكوين دالة الهدف:
حيث يتم تعظيم القيمة الحالية لعوائد استغلال المورد القابل للنضوب 
خلال المدى الزمني تساوي:
ومن ثم نوجد دالة الإيراد الكلي t TR، وبما أن الإيراد الكلي هو المنطقة الموجودة تحت منحنى الطلب فإن الإيراد الكلي يساوي تكامل معكوس دالة الطلب.
حيث يكون تكامل معكوس دالة الطلب:
وبالتالي تكون قيمة تكامل معكوس دالة الطلب (دالة الإيراد الكلي) هي:
وكذلك للحصول على دالة التكاليف الكلية، نقوم بإيجاد تكامل دالة التكاليف الحدية كما يأتي:
الخطوة الثانية : نوجد قيود دالة الهدف وهي شرط المخزون الديناميكي وشرط عدم السالبية حيث :
قيد المخزون الديناميكي هو:
R1 + R2 < 105
بينما قيد عدم السالبية هو:
R1 , R2 > 0
2 ـ حل الأنموذج واستخدم دالة لاجرانج لحل هذا الأنموذج باتباع الخطوات التالية:
الخطوة الأولى: نكون دالة لاجرانج من مسألة التحكم الأمثل حيث:
دالة لاجرانج ( R1,R2 ,& ) عائد أو ربح استخراج المورد في المدة الأولى+ (LRR - القيمة الحالية لعائد استخراج المورد في المدة الثانية + (قيد النضوب) * &
(1) حيث عائد أو ربح استخراج المورد في المدة الأولى هو:
(2) القيمة الحالية لعائد أو ربح استخراج المورد في المدة الثانية هو:
(3) بينما قيد النضوب الذي يمثل تكلفة الفرصة البديلة للمورد وهو عبارة عن قيد المخزون مضروباً في معامل لاجرانج، حيث:
وهذا هو المطلب الأول.
الخطوة الثانية: إيجاد الشروط الضرورية والكافية لدالة لاجرانج لتعظيم عائد الإنتاج (تعظيم دالة الهدف)
حيث نفاضل دالة لاجرانج إلى متغيراتها الداخلية ونساويهما بالصفر كما يأتي:
(1) الشرط الضروري الأول لتعظيم دالة الهدف في المدة الأولى هو تفاضل دالة لاجرانج بالنسبة لـ R1 مساوياً للصفر في المدة الأولى حيث:
(2) الشرط الضروري الأول لتعظيم دالة الهدف في المدة الثانية وهو تفاضل دالة لاجرانج بالنسبة لـ R2 مساوياً للصفر في المدة الثانية حيث:
(3) الشرط الضروري الثاني للأمثلية، وهو أن إجمالي المورد المستخرج في المدتين لا يمكن أن يتجاوز المخزون الابتدائي، وهنا نفاضل دالة لاجرانج بالنسبة لـ & ونساويهما بالصفر حيث:
وبالتالي فإن الشروط الضرورية الأولى والثانية لتعظيم عائد الإنتاج من هذا الحقل هي:
وهذا هو المطلوب الثاني.
الخطوة الثالثة: هي القيام بحل المعادلات الثلاث للوصول إلى قيمة كل من ( R1,R2,و&) باستخدام المعادلة الأولى والثانية:
حيث:
وبما أن كلا المعادلتين السابقتين تساوي & ، فإن الطرفين على اليسار متساويان، أي إن:
حيث:
المخزون المتبقي من النفط = المخزون الابتدائي في الحقل ــ الكميات المستخرجة في المدتين
وهذا هو المطلب الثالث
الخطوة الرابعة: إيجاد القيمة الحالية لربح منتج المورد عبر الزمن بالتعويض عن قيم R1 وR2 المستخرجة في دالة الهدف حيث:
وهذا هو المطلوب الرابع
شكل التكاليف الحدية: التكاليف الحدية لاستخراج المورد القابل للنضوب تتزايد كلما انخفض مستوى المخزون وأحياناً كلما زاد المستوى الإنتاجي للمورد خاصة في المدى الطويل، وبالتالي فإن دالة التكاليف الحدية ستصبح متزايدة وليست ثابتة (أفقية).
حيث يوضح الشكل السابق أنه كلما انخفض مستوى المخزون S t ، ارتفع مستوى التكاليف الحدية MC t لاستخراج المتبقي من رصيد المورد، وذلك بسبب تزايد تكلفة الفرصة البديلة (تكلفة النضوب) للمورد، وعليه فإن سعر المورد
القابل للنضوب يتزايد كلما انخفض المخزون المتبقي من المورد، وهو ما يمكن تمثيله رياضياً كما يأتي:
وهذا هو المطلوب الخامس.
الاكثر قراءة في ألانظمة الاقتصادية
اخر الاخبار
اخبار العتبة العباسية المقدسة
