A system of equation types obtained by generalizing the differential equation for the normal distribution

(1)

which has solution

(2)

to

(3)

which has solution

(4)

Let ,  be the roots of . Then the possible types of curves are

0. , . E.g., normal distribution.

I. , . E.g., beta distribution.

II. , ,  where .

III. , ,  where . E.g., gamma distribution. This case is intermediate to cases I and VI.

IV. , .

V. ,  where . Intermediate to cases IV and VI.

VI. ,  where  is the larger root. E.g., beta prime distribution.

VII. , , . E.g., Student's t-distribution.

Classes IX-XII are discussed in Pearson (1916). See also Craig (in Kenney and Keeping 1951).

If a Pearson curve possesses a mode, it will be at . Let  at  and , where these may be  or . If  also vanishes at , , then the th moment and th moments exist.

(5)

giving

(6)

(7)

Now define the raw th moment by

(8)

so combining (7) with (8) gives

(9)

For ,

(10)

so

(11)

and for ,

(12)

so

(13)

Combining (11), (13), and the definitions

			(14)
			(15)

obtained by letting  and solving simultaneously gives  and . Writing

(16)

then allows the general recurrence to be written

(17)

For the special cases  and , this gives

(18)

(19)

so the skewness and kurtosis excess are

			(20)
			(21)

The parameters , , and  can therefore be written

			(22)
			(23)
			(24)

where

(25)

REFERENCES:

Craig, C. C. "A New Exposition and Chart for the Pearson System of Frequency Curves." Ann. Math. Stat. 7, 16-28, 1936.

Kenney, J. F. and Keeping, E. S. Mathematics of Statistics, Pt. 2, 2nd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, p. 107, 1951.

Pearson, K. "Second Supplement to a Memoir on Skew Variation." Phil. Trans. A 216, 429-457, 1916.

اخر الاخبار

اخبار العتبة العباسية المقدسة

في موكب العتبتين المقدستين.. المجمع العلمي ينظم محفله القرآني الدولي الأول بالنجف الأشرف

معمل ثلج الكفيل يرفع طاقته الإنتاجية لنحو 3 آلاف قالب يوميّاً خلال زيارة الأربعين

المجمع العلمي ينشر محطاته القرآنية على مختلف الطرق الرئيسة المؤدية إلى كربلاء

مجمع أبي الفضل العباس (عليه السلام) يرفع إنتاج الصمون لأكثر من 25 ألف قطعة يوميًا

المزيد

الآخبار الصحية

قد يؤدي إلى فشل القلب.. تحذير من مسكن آلام يستعمله الملايين

هل الجري يساعد على فقدان الوزن؟.. إليك ما يقوله الخبراء

ماذا يحدث لجسمك عند شرب عصير البطيخ بانتظام؟

علماء يكتشفون أن نقص عنصر غذائي "شائع" قد يسبب الزهايمر

المزيد

الآخبار التكنلوجية

المعادن الحيوية قد تنضب خلال 10 سنوات.. دراسة صادمة ؟

"إنستغرام" يستنسخ خاصية شائعة من منافسه "سناب شات"

رواد فضاء يغادرون محطة الفضاء الدولية بعد مهمة استمرت 5 أشهر

"كريساليس".. سفينة فضائية ستسافر بالبشر إلى أعماق النجوم ؟!

المزيد